已知数列{an} 是各项为正数的等比数列，数列{bn}

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 01:20:37
已知数列{an} 是各项为正数的等比数列，数列{bn}定义为bn=(1/n)*[lga1+lga2+lga3+……+lga(n-1)+lg(kan)]问是否存在常数k ，使得数列{bn}为等差数列？证明你的结论。
我很急！！~ 麻烦了，我需要详细的过程，谢谢！~

当然存在．
证明：设{an}的公比为q,首项为a1, 则an=an*q^(n-1)
[lga1+lga2+lga3+……+lga(n-1)+lg(kan)]
=lg{(a1)*(a2)*...*[a(n-1)]*[k(an)]}
=lg{[(a1)^n]*{q^[1+2+...+(n-2)+(n-1)]}*k
=lg[(a1)^n]+lg[q^[n*(n-1)/2]+lgk
=nlg(a1)+[n*(n-1)/2]lg(q)+lgk
故bn={nlg(a1)+[n*(n-1)/2]lg(q)+lgk}/n=lg(a1)+[(n-1)/2]lg(q)+(lgk)/n
bn-b(n-1)=(1/2)lg(q)+(lgk)*[1/n-1/(n-1)],
又bn为等差，故bn-b(n-1）为常数，故lgk=0, 即k=1时，可使｛bn}为等差数列．